Dicotomia di Venere e della Luna

Autore: Laura Gori

Continuiamo a misurare l'elongazione di Venere e ad osservarla al telescopio. Si vede che:

per tutto il mese Venere cala
l'elongazione cresce e poi diminuisce.

Aiutiamoci con un almanacco astronomico. Nel corso del mese possiamo verificare, osservando e misurando direttamente.

1/1/2001 elongazione: 46° 21' frazione illuminata: 59%
8/1/2001 elongazione: 46° 50' frazione illuminata: 56%
15/1/2001 elongazione: 47° 5' frazione illuminata: 52%
22/1/2001 elongazione: 47° 1' frazione illuminata: 49%
29/1/2001 elongazione: 46° 35' frazione illuminata: 45%
2/2/2001 elongazione: 45° 39' frazione illuminata: 40%

L'elongazione cresce e poi diminuisce.
Ciò significa che c'è un momento in cui l'elongazione è massima: verso la metà el mese, come ci suggerisce la tabella. Con un almanacco più preciso lo possiamo sapere fin da ora, ma possiamo anche trovare il giorno della massima elongazione grazie alle osservazioni al telescopio, le misure dirette delle elongazioni, a considerazioni derivanti dalla matematizzazione della situazione, che ora andiamo a costruire.

Consideriamo Venere, Terra e Sole come punti, vertici di un triangolo, il triangolo VTS.
Supponiamo che Venere e la Terra descrivano nel loro moto intorno al Sole una circonferenza. Non è così, come si sa dalla prima legge di Keplero, ma l'approssimazione per i nostri scopi è più che accettabile.

Definiamo il momento della dicotomia come quello in cui Venere è mezza, come la dicotomia della Luna corrisponde alla mezza Luna.

Quando Venere è perfettamente in dicotomia?
Quando nel triangolo VTS l'angolo in V è retto.
Analogamente per la Luna: quando vedo una mezza luna, l'angolo in L, nel triangolo Sole-Terra-Luna, STL, è retto.
Quindi nel momento della dicotomia i due triangoli sono rettangoli.
Ma non tutti i triangoli rettangoli, pur avendo tutti un angolo retto, hanno la stessa forma.
Ma nel momento in cui la Luna è mezza, posso misurarne l'elongazione e determinare quindi l'angolo in T, nel triangolo STL: questo ci permette di conoscere la forma del triangolo rettangolo STL e con questo di ricavare il rapporto tra la distanza Terra-Luna e la distanza Terra-Sole.
Risolve il problema la teoria della similitudine e. più in generale, la trigonometria.

Per chi ha litigato con la matematica da piccolo, un semplice disegno in scala porta a ricavare questo rapporto.
Prendete lapis, riga e goniometro.
Disegno col goniometro l'angolo che corrisponde all'elongazione della Luna: è questo l'angolo in T.
Su un lato fisso, a scelta, la posizione del Sole e poi trovo la posizione della Luna, tenendo conto che l'angolo in L deve essere retto.
Qualunque scelta abbia fatto per la posizione del Sole, resta invariata la forma del triangolo, così "allungata" che si distinguono male i lati; resta invariato il rapporto tra i lati.
Questo fece Aristarco di Samo, uno "scienziato" del terzo secolo a.C., che aveva avanzato l'ipotesi della teoria eliocentrica e che fornì il rapporto tra la distanza dalla Terra del Sole e della Luna.
La sua conclusione fu che il Sole è più distante della Luna dalla Terra circa venti volte, avendo misurato un'elongazione di 87°.
Oggi sappiamo che il rapporto non vale 20, ma circa 400: il Sole dista dalla Terra circa 400 volte più della Luna.
Ma è importante sottolineare che, se oggi può sembrarci grossolano l'errore di Aristarco, ciò non è dovuto al metodo, alla matematizzazione, che è validissima, ma alla strumentazione da lui adoperata non in grado di misurare adeguatamente sottomultipli del grado: le misure attuali forniscono per la dicotomia della Luna una elongazione pari a 89° 51' contro gli 87° misurati da Aristarco.

Può sembrare strano che un errore così modesto nella misura della elongazione (meno di 3 gradi su 89°) abbia portato ad un errore enorme nel valore del rapporto. Ma questa è un'altra storia, squisitamente matematica.

Torniamo ora alla dicotomia di Venere e ripetiamo la costruzione con riga e goniometro per il triangolo Venere-Terra-Sole. Questa volta l'angolo in T, cioè l'elongazione di Venere alla dicotomia, risulta dalle misure circa 47°.
Si ottiene un triangolo di forma molto diversa rispetto al triangolo STL. Il triangolo è quasi isoscele, molto vicino alla metà di un quadrato.
E così, assumendo come unità la distanza Terra-Sole, che è l'unità astronomica, si ha che la distanza Venere-Terra, al momento della dicotomia, è circa 0,71 Unità Astronomiche.

Guardate il cielo in questi primi giorni di Gennaio, quando la Luna è prossima alla dicotomia (4 Gennaio) ed anche Venere è prossima alla dicotomia.
E' facile vedere, misurando col corpo, che l'elongazione della Luna è molto maggiore dell'elongazione di Venere.
Raffigurarsi i due triangoli mentre si osserva il cielo favorisce la percezione della profondità del cielo, perché siamo costretti a tenere la Luna più vicina a noi a di allontanare prorzionalmente il Sole e Venere.

Torneremo in seguito sulla diversa distanza di Venere dalla Terra, sulle relazioni tra la dicotomia di Venere e la sua elongazione.
Per il momento, buona osservazione!